Web Analytics
Početna strana za vertikalan hitac
🇬🇧 English

Sadržaj

Vertikalan hitac - uvod
Zadaci
Simulacija
Slobodan pad
Created with Easy Java Simulations

Vertikalan hitac-uvod

Vertikalan hitac naviše je kretanje nekog tela, bačenog naviše nekom pocetnom brzinom V0 u gravitacionom polju zemlje. Drugim recima to je kretanje nekog tela duž ose Y u XOY ravni pod dejstvom sile teže, brzinom V, dok je pocetna brzina V0kada je po pravcu koji zaklapa vektor brzine sa osom x jednak 90°.

Brzina tela se tokom vremena t smanjauje za g*t zbog gravitacione sile koja vuce kuglu prema dole (slobodni pad). Posle nekog vremena telo dostiže svoju maksimalnu visinu HVMaxV, a zatim pocinje slobodno da pada na dole. Na površini zemlje gravitociono ubrzanje iznosi približno g=9.81m/s²

vertikalan hitac

Određivanje maksimalne visine

Pretpostavimo da imamo vertikalan hitac naviše i da je telu saopštena neka početna brzina v0. Da bismo odredili maksimalnu visinu pri vertikalnom hitcu, možemo se poslužiti ili formulama za ravnomerno usporeno kretanje, ili principom zakon o očuvanju energije.

Zakon o očuvanju energije

Ukupna mehanička energija tela mase m pri visini H iznosi zbir potencijalne i kinetičke energije: 

E = Ep + Ek

Gde je:

  • Potencijalna energija pri visini H: 
    Ep = m · g · H
    (g je gravitaciono ubrzanje, približno 9.81 m/s²).
  • Kinetička energija tela koje se kreće brzinom v: 
    Ek = ½ · m · v²

Na vrhu putanje (maksimalna visina), vertikalna brzina postaje nula (v = 0), pa je kinetička energija tu jednaka nuli. U trenutku ispuštanja (visina H = 0), sav skupljena energija je bila u obliku kinetičke energije: 

Etotal (početno) = ½ · m · v0²

Kako telo ide naviše, njegova kinetička energija opada dok se harmonično pretvara u potencijalnu. Ovo se može videti na dijagramu kinetičke i potencijalne energije, simulacije u Ejss-u(vidi sliku 2). U najvišoj tački (Hmax), kinetika je potpuno iskorišćena za podizanje u visinu, pa važi: 

½ · m · v0² = m · g · Hmax

Iz te jednačine odmah dobijamo formulu za maksimalnu visinu: 


Hmax = v0² / (2 · g)

Primenom kinematičkih jednačina

Alternativno, možemo koristiti i kinematičku jednačinu za ravnomerno usporeno kretanje (u vertikalnom smeru). Ignorišući vazdušni otpor, vertikalna komponenta ubrzanja iznosi −g. Početna brzina uvertikalnom smeru je v0, a na vrhu putanje brzina postaje nula.

v² = v0² − 2 · g · ΔH

U vrhu putanje, v = 0, pa je: 

0 = v0² − 2 · g · Hmax

i odatle imamo: 

Hmax = v0² / (2 · g)

Zaključak

Bez obzira koristimo li zakon o očuvanju energije ili kinematičke formule, konačni rezultat za maksimalnu visinu kod vertikalnog hica je isti: 

Hmax = v0²/(2 · g)

Ovaj izraz pokazuje da brzina v0 kvadratom utiče na visinu do koje telo može da se popne, dok veće gravitaciono ubrzanje g smanjuje maksimalnu visinu.

Simulacija vertikalnog hica
Slika 2. Simulacija vertikalnog hica

Padanje tela posle dostizanja maksimalne visine Hmax

Kada se telo baci vertikalno naviše, ono se usporava pod uticajem gravitacije dok na vrhu putanje ne dostigne brzinu jednaku 0. Ta visina se označava kao Hmax. U tom trenutku telo kratko miruje, a zatim se vraća prema zemlji. Dalji nastavak kretanja može se smatrati slobodnim padom iz ulazne visine Hmax, jer je brzina u vertikalnom smeru jednaka 0 i deluje samo gravitacija.

Drugim rečima, nakon što brzina dopadne v = 0 na visini Hmax, telo odmah počinje da ubrzano pada nadole prema tlu istim principom kao kod slobodnog pada iz neke visine H0. U tom momentu, sve kinetičke i potencijalne energije su raspoređene na:

  • Potencijalna energija: Ep = m · g · Hmax, jer je telo na najvišoj tački putanje.
  • Kinetička energija: Ek = 0, budući da je trenutna brzina v = 0.

Od momenta kada telo počne da pada sa Hmax, važe sve formule i zaključci koje smo već naveli za slobodan pad iz zadate visine. To znači da će telo preći identičan put naniže i dostići brzinu pri udaru v = √2 · g · Hmax, baš kao da je ispušteno neposredno sa visine Hmax.

Brzina tela pri padu. Kinetička i potencijalna energija pri padu.

Kada telo ispustimo iz visine H0 bez početne brzine, ono se ubrzava pod dejstvom gravitacije. U svakom trenutku, deo ukupne mehaničke energije tela je još uvek u obliku potencijalne energije, dok je ostatak pretvoren u kinetičku energiju. Sledeći podaci objašnjavaju kako se brzina menja tokom slobodnog pada i kako se energija raspodeljuje.

1. Potencijalna energija na visini h

U trenutku kada se telo nalazi na visini h iznad tla (gde je 0 ≤ h ≤ H0), njegova potencijalna energija iznosi: 

Ep(h) = m · g · h

Kako telo pada, h se smanjuje, pa se potencijalna energija umanjuje proporcionalno visini.

2. Kinetička energija i brzina pri visini h

Pošto se ukupna mehanička energija tela očuva (ako zanemarimo otpor vazduha), važi: 

Etotal = Ep(h) + Ek(h) = const = m · g · H0

Kinetička energija tela u trenutku kada je na visini h glasi: 

Ek(h) = m · g · (H0 − h)

Iz kinetičke energije možemo izraziti brzinu v(h): 

½ · m · v(h)² = m · g · (H0 − h)  
⇒  
v(h) = √2 · g · (H0 − h)

Dakle, što je h manja (telo bliže tlu), to je veća brzina – na samom dnu (h = 0) brzina dostiže: 

vkrit = √2 · g · H0

3. Kretanje i kretanje kroz visine

U klasičnom opisu, brzina u toku slobodnog pada zavisi od vremena t prošlog od trenutka ispuštanja: 

v(t) = g · t

Visina tela u tom trenutku je: 

h(t) = H0 − ½ · g · t²

Kada h(t) = 0 (telo stigne do tla), vreme pada tp dobijamo iz: 

0 = H0 − ½ · g · tp²  
⇒  
tp = √2 · H0 / g

Po tom vremenu, brzina tela dostiže: 

vp = g · tp = √[2 · g · H0]

4. Prikaz energije kroz vremenski tok

- U početnom trenutku (t = 0), sav energija je u obliku potencijalne: Ep = m · g · H0, Ek = 0.
- Kako telo pada, Ep opada linearno sa visinom, a Ek raste tako da je zbir konstantan.
- U bilo kom trenutku t i visini h(t) važi: 


Ep(t) = m · g · h(t)  
Ek(t) = ½ · m · [v(t)]² = ½ · m · (g · t)²  
Etotal = m · g · H0   (konstantno)

5. Zaključak

Dakle, pri slobodnom padu tela: - Brzina raste dokle god telo ne stigne do tla, prateći formulu v = √[2 · g · (H0 − h)] ili v(t) = g · t.
- Potencijalna energija se pretvara u kinetičku, ali zbir obe energije ostaje nepromenjen (Ep + Ek = const), sve dok ne dođe do udara o podlogu.
- Na samom tlu (h = 0), telo dostiže najveću kinetičku energiju ½ · m · [√(2 · g · H0)]² = m · g · H0.

Brzina tela pri padu. Kinetčika i potencijalna energija pri padu.

Sledece formule opisuju vertikalan hitac:

Brzina u smeru y ose v u smjeru osi y: v0Y=v0*sin(a) - g*t

Predeni put u smeru ose y y=v0*t* - g*t²/2

Vreme potrebno da telo postigne najvišu tacku putanje t=v0/g

Najveca postignuta visina HMax=v0²/(2*g)