Rotaciono kretanje krutog tela-Rotacija diska

Translacija krutog tela

Translacija je kretanje kod kojeg se svaka tačka tela pomera uprav paralelno istoj putanji.

Paralelna translacija (često zovu „čista“ translacija): Svi delovi tela prate istu vektorsku pomerajnu.

Na primer, ako ceo predmet klizi pravo po stolu tako da se ne okreće, tada kažemo da telo vrši paralelnu translaciju.

Matematika: Ako je početna pozicija neke tačke r₀, a brzina tela je v (pomeranje konstantne brzine), onda je pozicija u trenutku t:

r(t) = r0 + v · t

Svi pikseli/tačke se pomeraju jednako.

Rotacija diska

1. Cilj i zadatak simulacije

U ovoj lekciji ćemo kreirati interaktivnu simulaciju rotacije diska. Disk ima masu m i poluprečnik r. Dva osnovna slučaja kretanja koje prikazaćemo su:

1. Ravnomerno obrtanje – disk se okreće konstantnom ugaonom brzinom ω.
2. Ravnomerno ubrzano obrtanje – disk počinje iz stanja mirovanja i ubrzava pod dejstvom konstantnog ugaonog ubrzanja α.

Koraci simulacije obuhvataju:

• Ažuriranje vremena: t = t + Δt.
• Ažuriranje ugaonog pomeraja: Δφ = ω · Δt (za ravnomerno obrtanje) ili Δφ = ω·Δt + (α·Δt²)/2 (za ravnomerno ubrzano obrtanje).
• Ažuriranje ugla: φ = φ + Δφ.
• Izračunavanje položaja tačke M na obodu diska u dekartovim koordinatama:

x = r · cos(φ)
y = r · sin(φ)
      

• Ponavljanje koraka svakih Δt = 0.05 s dok se simulacija ne zaustavi.

2. Ravnomerno obrtanje

Kada disk rotira ravnomerno, ugaona brzina ω je konstantna. U svakom koraku vremena Δt:

• Promena vremena: t = t + Δt
• Promena položaja: Δφ = ω · Δt, pa je novi ugao φ = φ + Δφ.
• Koordinate tačke M na obodu diska:

x = r · cos(φ)
y = r · sin(φ)
    

U svakom trenutku crtam poziciju tačke M u 2D ravan (na DrawingPanel) i prikazujem 3D modeli diska koje možete rotirati kamerom. Ovako učenik može vizuelno pratiti kako se svaka tačka diska kreće kružno istim ubrzanjem.

3. Ravnomerno ubrzano obrtanje

Sada hajde da uvedemo ugaono ubrzanje α. Disk počinje iz mirovanja (ili početne ugaone brzine ω0) i ubrzava. Ugaono ubrzanje se definiše kao:

α = dω/dt  [rad/s²]

Tokom istog vremenskog intervala Δt, ugaoni pomeraj Δφ raste jer se ugaona brzina menja:

Δφ = ω·Δt + (α·Δt²)/2

Pri čemu je ω trenutna ugaona brzina u datom koraku, a posle ovog koraka imače novu vrednost ω = ω + α·Δt.

• Promena vremena: t = t + Δt
• Promena ugla:

  φ = φ + ω·Δt + (α·Δt²)/2

• Ažuriranje ugaone brzine: ω = ω + α·Δt
• Koordinate tačke M:

  
  x = r · cos(φ)
  y = r · sin(φ)
        

Ovde vidimo analogiju sa translatornim kretanjem:

s = s0 + v0·t + (a·t²)/2

samo što u rotaciji zamenjujemo s sa φ, v0 sa ω i a sa α.

4. Moment sile i moment inercije

Da bi disk ubrzavao, mora da deluje spoljna sila. Međutim, na disk deluje raspodela sila, a ne samo jedna tačka. Bitan je moment sile koja proizvodi tangencijalnu komponentu Ft. Za tačku M na rastojanju r od osi rotacije, moment sile je:

M = Ft · r  [N·m]

Normalna komponenta Fn prolazi kroz osu rotacije, pa njen moment iznosi nula. Dakle, samo tangencijalna komponenta doprinosi obrtanju.

Mera inertnosti kod kružnog kretanja je moment inercije I. Za disk je:

I = (m·r²)/2

gde je m masa diska, a r njegov poluprečnik.

Drugi Njutnov zakon za rotaciju glasi:

M = I · α

Takođe, moment količine kretanja (rotacioni zamajac) diska oko fiksne ose je:

L = I · ω

Gde ω predstavlja ugaonu brzinu diska.

5. Praktičan primer simulacije u EJS-u

U interaktivnom okruženju EJS, simulacija rotacije diska prikazuje sledeće komponente:

• 3D prikaz diska koji se kotrlja ili ubrzava oko vertikalne ose. Kamera se može rotirati kako bi se posmatralo kretanje iz različitih uglova.
• 2D „Top View“ (gornja projekcija) na PlottingPanel gde se vidi kružna putanja tačke M u ravni.
• Grafik ugaone brzine ω u funkciji vremena na drugom PlottingPanel.
• Grafici kinetičke i potencijalne energije diska u odnosu na vreme na trećem PlottingPanel, gde se jasno vidi prelaz energije od kinetičke do potencijalne i obrnuto kod ravnomerno ubrzanog kretanja.

Korisnik ima kontrolu nad parametrima:

• Poluprečnik r i masa m diska.
• Početna ugaona brzina ω0 ili ugaono ubrzanje α.
• Vremenski korak Δt kojim se simulacija ažurira.

Kada promenite željene vrednosti i pritisnete „Start“, vidite kako se disk okreće ili ubrzava, te kako se menjaju grafikoni u realnom vremenu.

6. Zaključak

Rotacija diska je odličan primer za razumevanje dinamičkih zakona u rotacionom kretanju. Kroz simulaciju u EJS-u možete istražiti:

• Kako se ugaono ubrzanje menja kada se poveća ili smanji momenat sile M.
• Kako moment inercije I diska zavisi od mase i poluprečnika (I = m·r²/2).
• Kako energija prelazi sa kutne (rotacione) na kinetičku (kod tačke na obodu) i nazad.
• Kako analogija sa translatornim kretanjem pomaže pri izračunavanju ugla φ i ugaone brzine ω tokom vremena.

Proučavanje rotacije diska kroz interaktivnu simulaciju ne samo da čini učenje dinamičkih zakona zabavnim, već i omogućava duboko razumevanje kako sile i momenti utiču na realne objekte u svakodnevnom životu i inženjerskim primenama.